\documentclass[10pt,a4paper]{article} %format des sujets \usepackage[french]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8x]{inputenc} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,mathrsfs,graphicx,amsthm,dsfont} \usepackage{euscript,mathrsfs} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{colortbl} \usepackage{comment} \usepackage{tikz} \usepackage{mathdots} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\textheight}{25.5cm} \setlength{\oddsidemargin}{-10mm} \setlength{\textwidth}{17.5cm} \newcommand{\htrait}{\smallskip\hspace{-0.6cm}\rule{20cm}{0.5pt}\smallskip} % Pour séparer les exos \newcount\exocount % compteur exo \exocount=0 \newcount\espcount % compteur qsp \espcount=0 \newcount\planchecount \planchecount=0 \newcommand{\exoe}{\vspace{3mm}\par\advance\planchecount by1 \begin{center} \Large {\bf SUJET E\the\planchecount}\\ \vspace*{1cm} {\large {\bf Exercice principal E\the\planchecount}} \end{center} \vspace*{2cm}} \newcount\planchecount \planchecount=0 \newcommand{\exos}{\vspace{3mm}\par\advance\planchecount by1 \begin{center} \Large {\bf SUJET S\the\planchecount}\\ \vspace*{1cm} {\large {\bf Exercice principal S\the\planchecount}} \end{center} \vspace*{2cm}} \newcommand{\Esps}{\vspace{3mm} \begin{center} \Large {\bf Exercice sans préparation S\the\planchecount}\\ \end{center} \vspace*{2cm}} \newcommand{\exo}{\vspace{3mm}\par\advance\exocount by1 \noindent{\hspace{-0.4cm}\bf Exercice principal n\textsuperscript{o}\the\exocount\ \ \\ \ \\ }} \newcommand{\Esp}{\vspace{3mm}\par\advance\espcount by1 \noindent{\hspace{-0.4cm}\bf Exercice sans préparation n\textsuperscript{o}\the\espcount\ \ \\ \ \\}} \everymath{\displaystyle} % applique un displaystyle à toutes les commandes de math %ensembles de nombres \def\C{\mathbb{C}} \def\D{\mathbb{D}} \def\K{\mathbb{K}} \def\H{\mathbb{H}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\R{\mathbb{R}} \def\U{\mathbb{U}} \def\E{\mathbb{E}} \def\P{\mathbb{P}} \def\V{\mathbb{V}} \def \A{{\cal A}} \newcommand{\Nstar}{\ensuremath{\mathbb{N}^{*}}} \newcommand{\Zstar}{\ensuremath{\mathbb{Z}^{*}}} \newcommand{\Qstar}{\ensuremath{\mathbb{Q}^{*}}} \newcommand{\Rstar}{\ensuremath{\mathbb{R}^{*}}} \newcommand{\Cstar}{\ensuremath{\mathbb{C}^{*}}} \newcommand{\Rplus}{\ensuremath{\mathbb{R}_{+}}} \newcommand{\Rmoins}{\ensuremath{\mathbb{R}_{-}}} \newcommand{\Rplusstar}{\ensuremath{\mathbb{R}_{+}^*}} \newcommand{\Rmoinsstar}{\ensuremath{\mathbb{R}_{-}^*}} \newcommand{\Rplusetoile}{\ensuremath{\mathbb{R}_{+}^*}} \newcommand{\Rmoinsetoile}{\ensuremath{\mathbb{R}_{-}^*}} % Divers \newcommand{\e}{\mathrm{e}} %e de exponentielle \newcommand{\Id}{\hbox{\rm{Id}\,}} \newcommand{\1}[1]{\mathds{1}_{#1}}% la fonction indicatrice pour les proba \newcommand{\llb}{\llbracket} \newcommand{\rrb}{\rrbracket} %Relation de comparaison \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \newcommand{\peto}[1]{\rm{o}\left(#1\right)} \newcommand{\gdo}[1]{\rm{O}\left(#1\right)} \newcommand{\eq}[1]{\operatorname*{\sim}_{#1} } %Algèbre \def \M{{\cal M}} \def \L {{\cal L}} \newcommand{\Sp}{\text{Sp}\,} \newcommand{\Ker}{\mbox{ Ker }} \newcommand{\im}{\mbox{ Im }} \newcommand{\Vect}{\ensuremath{\mathop{\rm Vect\,}\nolimits}} \newcommand{\rg}{\ensuremath{\mathop{\rm rg\,}\nolimits}} \newcommand{\tr}{\ensuremath{\mathop{\rm Tr\,}\nolimits}} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}%valeur absolue \newcommand{\norme}[1]{\left|\left| #1 \right|\right|}%norme \newcommand{\prodscal}[2]{\langle #1 ; \; #2 \rangle} %produit scalaire %Mettre entre .. \newcommand{\pa}[1]{\ensuremath{\left(#1\right)}}%parenthèses \newcommand{\paf}[2]{\ensuremath{\left(\frac{#1}{#2}\right)}} % fractions entre parenthèses \newcommand{\acco}[1]{\ensuremath{\left\{ #1\right\}}}%accolades \newcommand{\crocint}[1]{\left[\begin{array}{c} #1 \end{array}\right]}% grands crochets pour les IPP % Intégrations \newcommand{\dx}{\ensuremath{\,\mathrm{d}x}} \newcommand{\dt}{\ensuremath{\,\mathrm{d}t}} \newcommand{\du}{\ensuremath{\,\mathrm{d}u}} \newcommand{\dv}{\ensuremath{\,\mathrm{d}v}} \newcommand{\dy}{\ensuremath{\,\mathrm{d}y}} \newcommand{\parmi}[2]{\left( \begin{array}{c} #2 \\ #1 \end{array} \right)} %algo de Gauss \newcommand{\opgauss}[1]{\stackrel{\mbox{\scriptsize$\begin{array}{l}#1\end{array}$}}{\longrightarrow}}% Pour décrire les opérations de pivot arg= un tableau du type L_1\devient & L-1+... \newcommand{\devient}{\leftarrow} \newcommand{\echange}{\leftrightarrow} % Matrices par blocs \newcommand{\bigzero}{\mbox{\normalfont\Large\bfseries 0}} \newcommand{\rvline}{\hspace*{-\arraycolsep}\vline\hspace*{-\arraycolsep}} % Numérotation des question \newcommand{\be}{\begin{enumerate}} \newcommand{\ee}{\end{enumerate}} \newcommand{\bi}{\begin{itemize}} \newcommand{\ei}{\end{itemize}} % Fonction \newcommand{\fonc}[4]{ \begin{array}{lcl} {#1} & \rightarrow & {#2} \\ {#3} & \mapsto & {#4} \\ \end{array} } \renewenvironment{comment}{ \htrait\vspace*{4mm}\qquad \textbf{Solution :}\\ }{\par} % Pour masquer ou afficher les solutions \pagestyle{empty} \begin{document} \title{Rapport et sujets, oral HEC, Mathématiques (BL) } \author{Juin-juillet 2021} \date{} \maketitle %\cfoot{} Dans leur grande majorit\'{e}, les candidats montrent de grandes qualit\'{e}s d'expression et de logique. Bien s\^{u}r, il y a une large diversit\'{e} entre eux, les notes s'\'{e}talant de 2 \`{a} 19. \\ Les candidats les plus faibles ont montr\'{e} de grosses faiblesses en calcul.\\ A contrario, les meilleurs candidats \'{e}taient brillants dans leurs intuitions et la finesse de leurs raisonnements. La moyenne est de $11,44$ et l'\'{e}cart-type est de $4,22$. \\ \ Le jury aimerait insister sur certaines fautes récurentes : \bi \item L'usage des quantificateurs est parfois difficile pour les candidats : par exemple la définition précise d'une valeur propre est souvent compliquée à obtenir. \item Le jury insiste sur le rôle du tableau : il doit être utilisé comme un support et doit permettre à l'étudiant de commenter son travail mais il n'est pas nécessaire d'y voir tous les calculs. Un juste équilibre doit être trouvé, certains candidats veulent recopier l'intégralité de leur brouillon, d'autre ne rien écrire.\\ \item Les étudiants pensent souvent, à tort, qu'une limite existe toujours et utilise le symbole $\lim$ a mauvais escient. \item Il est utile de connaitre les lettres grecques. Il est parfois difficile de suivre les étudiants lorsqu'ils confondent deux lettres de leur énoncé. \item Il est important qu'un étudiant sache étudier une fonction et en dessiner le graphe. \item Il est inutile de demander au jury de sauter une question graphique, il ne le fera pas. \ei Nous f\'{e}licitons ceux, nombreux, qui se sont accroch\'{e}s jusqu'au bout, essayant diverses m\'{e}thodes, proposant des id\'{e}es.\\ L'exercice sans préparation a très bien rempli son rôle et permet de sauver des oraux mal commencés, ou de confirmer une prestation remarquable.\\ \ \\ Voici quelques sujets proposés cette année. Nous publions aussi leurs corrigés, mais insistons sur le fait que ces corrigés sont indicatifs, qu'ils ont été écrits à l'intention des membres de jury et ne correspondent pas toujours exactement à ce que l'on peut attendre des élèves. \newpage \begin{center} {\Large {\bf SUJET BL2}}\\ \vspace*{1cm} {\large {\bf Exercice principal BL2}} \end{center} \vspace*{2cm} Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$ et $f$ une fonction d\'efinie sur $I$.\\ On dit que la fonction $f$ v\'erifie la propri\'et\'e $\mathcal{L}_k$ sur $I$ s'il existe un r\'eel $k\in \R^{+^{*}}$ tel que $$\forall \, (x,y)\in I^2, \qquad |f(x)-f(y)|\leq k|x-y|.$$ \begin{enumerate} \item Question de cours.\\ Rappeler l'\'egalit\'e et l'in\'egalit\'e des accroissements finis. \item \begin{enumerate} \item Montrer que les fonctions sinus et valeur absolue v\'erifient la propri\'et\'e $\mathcal{L}_1$ sur $\R$. \item Montrer que l'on ne peut pas trouver de r\'eel $k\in \R^{+^{*}}$ tel que la fonction racine carr\'ee v\'erifie la propri\'et\'e $\mathcal{L}_k$ sur $[0,1]$. \item Montrer que s'il existe un r\'eel $k\in \R^{+*}$ tel que $f$ v\'erifie la propri\'et\'e $\mathcal{L}_k$ sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$. \ee \item Soient un réel $k\in ]0,1[$, $f$ une fonction d\'efinie sur $\R$ et v\'erifiant la propri\'et\'e $\mathcal{L}_k$ sur $\R$ et $(u_n)$ la suite d\'efinie par la donn\'ee de $u_0\in \R$ et par la relation $$\forall \, n \in \N, \qquad u_{n+1}=f(u_n).$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $$\forall \, n \in \N, \qquad |u_{n+1}-u_n| \leq k^n |u_1-u_0|.$$ \item En d\'eduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite not\'ee $\ell$ et v\'erifiant $f(\ell)=\ell$.\\ \end{enumerate} \item Soient un réel $k\in ]0,1[$, $f$ une fonction d\'efinie sur $\R$ et v\'erifiant la propri\'et\'e $\mathcal{L}_k$ sur $\R$ et $(T_n)_{n\in \N}$ une suite de variables al\'eatoires \`a densit\'e d\'efinies sur un m\^eme espace probabilis\'e $(\Omega, \mathcal{A}, \P)$ et telles que $$\forall \, n\in \N, \qquad T_{n+1}=f(T_n).$$ Soit $\ell$ la limite trouv\'ee \`a la question 3.\\ \begin{enumerate} \item Soit $\varepsilon >0$. Pour tout $n\in \N$, on pose $A_n=[k^n |T_0-\ell|\geq \varepsilon].$ Montrer que $$\lim_{n\to +\infty} \P(A_n)=0.$$ \item Montrer que $$\forall \, \varepsilon >0, \qquad \lim_{n\to +\infty} \P(|T_n-\ell|\geq \varepsilon)=0.$$ \item Pour tout $n\in \N$, on note $F_{T_n}$ la fonction de r\'epartition de la variable $T_n$.\\ Montrer que $$\forall \, x\in \R-\{\ell\}, \qquad \lim_{n\to +\infty} F_{T_n}(x)=F(x)$$ o\`u $F$ est la fonction de r\'epartition d'une variable al\'eatoire $X$ dont on reconnaitra la loi. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{comment} \begin{enumerate} \item Question de cours.\\ Egalit\'e et in\'egalit\'e des accroissements finis. Voir le programme officiel, page 11. \item \begin{enumerate} \item Soit $f:x\mapsto \sin(x)$ la fonction sinus. Soit $y\in \R$ un r\'eel fix\'e. Si $x\in ]-\infty, y[$, en appliquant l'in\'egalit\'e des accroissements finis sur $]x,y[$, on trouve $$|f(x)-f(y)|\leq \max_{t\in [x,y]} |\cos(t)|\, |x-y|\leq |x-y|.$$ L'in\'egalit\'e se d\'emontre de m\^eme si $x\in ]y,+\infty[$. \\ Si $x=y$, la formule reste v\'erifi\'ee.\\ On conclut que la fonction $\sin$ v\'erifie la propri\'et\'e $\mathcal{L}_1$ sur $\R$.\\ Soit $f:x\mapsto |x|$ la fonction valeur absolue. Alors, par un corollaire de l'in\'egalit\'e triangulaire, $$\forall \, (x,y)\in \R^2, \qquad |f(x)-f(y)|=||x|-|y||\leq |x-y|.$$ Ainsi, la fonction $f$ v\'erifie la propri\'et\'e $\mathcal{L}_1$ sur $\R$.\\ \emph{Remarque:} dans le programme officiel, apparait la mention "in\'egalit\'e triangulaire" sans plus de pr\'ecision. La seconde forme de l'in\'egalit\'e triangulaire pourra donc \^etre ici red\'emontr\'ee. \item Soit $f:x\mapsto \sqrt{x}$ la fonction racine carr\'ee. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe un r\'eel $k\in \R^{+*}$ tel que $f$ v\'erifie la propri\'et\'e $\mathcal{L}_k$ sur $[0,1]$. Alors, $$\forall \, (x,y)\,\in [0,1]^2, \qquad |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq k|x-y|.$$ Comme $k>0$, il existe un entier $n\geq 2$ tel que $0<\dfrac{1}{n^2k^2}\leq \dfrac{1}{nk^2}\leq 1$. On pose $x=\dfrac{1}{n^2k^2}$ et $y=0$.\\ Il suit que $$|\sqrt{x}|=\dfrac{1}{nk}\leq k|x|=\dfrac{1}{n^2k}$$ ce qui est une contradiction, du fait que $k>0$ et $n\geq 2$. \item Soit $f$ une fonction v\'erifiant la propri\'et\'e $\mathcal{L}_k$ sur $I$, avec $k\in \R^{+*}$. Soit $a\in I$ un r\'eel fix\'e. Alors, $$\forall\, x \in \R, \qquad |f(x)-f(a)|\leq k|x-a|.$$ En faisant tendre $x$ vers $a$ et en utilisant la continuit\'e de la valeur absolue et le th\'eor\`eme d'encadrement, on conclut que $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a)$. Ceci prouve que $f$ est continue au point $a$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On prouve la propri\'et\'e par r\'ecurrence sur $n$. \item Comme $k\in ]0,1[$, la s\'erie g\'eom\'etrique $\sum k^n$ converge. Par crit\`ere de comparaison des s\'eries \`a termes positifs, la s\'erie $\sum |u_{n+1}-u_n|$ converge absolument, donc converge. On montre classiquement que la convergence de la s\'erie t\'elescopique $\sum (u_{n+1}-u_n)$ implique la convergence de la suite $(u_n)$ vers une limite finie. On note $\ell$ cette limite. On passe \`a la limite dans la relation $u_{n+1}=f(u_n)$. Par continuit\'e de la fonction $f$ (question 2(d)), on obtient $\ell=f(\ell)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $\varepsilon >0$. Soit $F_{T_0}$ la fonction de r\'epartition de la variable $T_0$. Pour tout entier $n\in \N$, $$\P(A_n)=\P(k^n|T_0-\ell|\geq \varepsilon)=1-\P(-\varepsilon \leq k^n (T_0-\ell)\leq \varepsilon)=1-F_{T_0}\left(\ell +\dfrac{\varepsilon}{k^n}\right)+F_{T_0}\left(\ell -\dfrac{\varepsilon}{k^n}\right).$$ Comme $k\in ]0,1[$, alors $$\lim_{n\to +\infty} \left(\dfrac{\varepsilon}{k^n}\right)=+\infty.$$ Ainsi, $$\lim_{n\to +\infty} F_{T_0}\left(\ell +\dfrac{\varepsilon}{k^n}\right)=1\qquad \mbox{et} \qquad \lim_{n\to +\infty} F_{T_0}\left(\ell -\dfrac{\varepsilon}{k^n}\right)=0.$$ Par suite, $$\lim_{n\to +\infty} \P(A_n)=1-1+0=0.$$ \item Pour tout $\omega \in \Omega$ et pour tout $n\in \N$, $$|T_{n+1}(\omega)-\ell|=|f(T_n)(\omega)-f(\ell)|\leq k|T_n(\omega)-\ell|.$$ Par r\'ecurrence sur $n$, on montre que $$\forall \, n \in \N, \qquad |T_{n}(\omega)-\ell| \leq k^n|T_0(\omega)-\ell|.$$ On en d\'eduit que pour tout $\varepsilon>0$, $$\forall \, n \in \N, \qquad[|T_n-\ell| \geq \varepsilon] \subset [k^n |T_0-\ell|]\geq \varepsilon]=A_n.$$ Par croissance de la probabilit\'e, $0\leq \P(|T_n-\ell| \geq \varepsilon)\leq \P(A_n)$.\\ Par th\'eor\`eme d'encadrement, $$\forall \, \varepsilon>0, \qquad \lim_{n\to +\infty} \P(|T_n-\ell| \geq \varepsilon)=0.$$ \textbf{Remarque}: on en d\'eduit au passage que $$\forall \, \varepsilon>0, \qquad \lim_{n\to +\infty} \P(|T_n-\ell| > \varepsilon)=0$$ du fait que $[|T_n-\ell| > \varepsilon] \subset [|T_n-\ell| \geq \varepsilon]$.\\ On dit que la suite de variables $(T_n)$ converge en probabilit\'e vers la variable certaine \'egale \`a $\ell$, mais cette notion n'est pas au programme de la BL. \item $\bullet$ Si $x>\ell$, on pose $\varepsilon =x-\ell>0$ de sorte que $x=\ell +\varepsilon$.\\ Alors, $$1\geq F_{T_n}(x)=\P(T_n\leq x)=\P(T_n\leq \ell+\varepsilon)=\P(T_n-\ell \leq \varepsilon)\geq \P(|T_n-\ell| \leq \varepsilon).$$ Par passage au compl\'ementaire dans la question pr\'ec\'edente (cf. remarque), on obtient $$\lim_{n\to +\infty} \P(|T_n-\ell| \leq \varepsilon)=1.$$ Par th\'eor\`eme d'encadrement, on conclut que $$\lim_{n\to +\infty}F_{T_n}(x) =1.$$ $\bullet$ Si $x<\ell$, on pose $\varepsilon=\ell-x >0$ de sorte que $x=\ell -\varepsilon$.\\ Alors, $$0\leq F_{T_n}(x)=\P(T_n\leq x)=\P(T_n-\ell\leq -\varepsilon)=\P(\ell -T_n\geq \varepsilon)\leq \P(|\ell-T_n|\geq \varepsilon)$$ Par th\'eor\`eme d'encadrement et en utilisant le r\'esultat de la question pr\'ec\'edente, on trouve $$\lim_{n\to +\infty} F_{T_n}(x) =0.$$ On conclut que $$\lim_{n\to +\infty} F_{T_n}(x)=F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1& \quad \mbox{si}\, \, x>\ell\\ 0& \quad \mbox{si}\, \, x<\ell\\ \end{array} \right. $$ On reconnait en $F$ la fonction de r\'epartition de la variable certaine \'egale \`a $\ell$.\\ On dit que la suite de variables $(T_n)$ converge en loi vers la variable certaine \'egale \`a $\ell$, mais cette notion n'est pas au programme de la BL. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{comment} \newpage \begin{center} {\Large {\bf Exercice sans préparation BL2}} \end{center} \vspace*{2cm} Soit $n\geq 2$ un entier. On dit que deux matrices $M_1$ et $M_2$ de $\mathcal{M}_n(\R)$ sont \underline{semblables} s'il existe une matrice inversible $Q\in \mathcal{M}_n(\R)$ telle que $$M_1=QM_2Q^{-1}.$$ \medskip \noindent On consid\`ere les deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$: $A=\begin{pmatrix} 1&0&\dots&0\\ 0&0 &\dots &0\\ \vdots&\ddots &\ddots &\vdots\\ 0&\dots &0& 0\\ \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0&0&\dots &\dots&0\\ 1&0 &\dots &\dots &0\\ 0&0 &\dots &\dots& 0\\ \vdots&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots\\ 0&\dots &\dots &0& 0\\ \end{pmatrix}.$ \begin{enumerate} \item Les matrices $A$ et $B$ sont-elles semblables ? \item \begin{enumerate} \item Existe-t-il un polyn\^ome $P\in \R[X]$ tel que $P(A)=B$ ? \item Existe-t-il un polyn\^ome $P\in \R[X]$ tel que $P(A)$ soit semblable \`a $B$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \begin{comment} \emph{La notion de "matrices semblables" n'apparait pas au programme de la voie BL.} \begin{enumerate} \item Raisonnons par l'absurde et supposons que $A$ et $B$ sont semblables. Ainsi, il existe une matrice inversible $Q\in \mathcal{M}_n(\R)$ telle que $A=QBQ^{-1}$. Alors, $\mbox{Sp}(A)=\mbox{Sp}(B)$. En effet, soit $\lambda \in \C$, $$\lambda\in \mbox{Sp}(A) \quad \Leftrightarrow \quad \exists\, X\in \mathcal{M}_{n,1}(\C\,)-\{0\},\, \, \, AX=\lambda X\quad \Leftrightarrow \quad \exists\, X\in \mathcal{M}_{n,1}(\C\,)-\{0\}, \,\, \, QBQ^{-1}X=\lambda X$$ Donc, $$\lambda \in \mbox{Sp}(A) \quad \Leftrightarrow \quad \exists\, X\in \mathcal{M}_{n,1}(\C\,)-\{0\}, \,\, \, BQ^{-1}X=\lambda Q^{-1}X\quad \Leftrightarrow \quad\exists\, Y=Q^{-1}X\in \mathcal{M}_{n,1}(\C\,)-\{0\}, \, BY=\lambda Y$$ On conclut que pour tout $\lambda \in \C$, $$\lambda \in \mbox{Sp}(A)\qquad \Leftrightarrow \qquad \lambda \in \mbox{Sp}(B).$$ Or, les matrices $A$ et $B$ \'etant triangulaires sup\'erieures, leur spectre se lit sur la diagonale. Donc $\mbox{Sp}(A)=\{0,1\} \neq \mbox{Sp}(B)=\{0\}$. On conclut que $A$ et $B$ ne sont pas semblables.\\ \textbf{Variante:} on pouvait aussi remarquer que $A$ est diagonalisable (puisque d\'ej\`a diagonale), alors que $B$ ne l'est pas. En effet, comme $\mbox{Sp}(B)=\{0\}$, si $B$ \'etait diagonalisable, ce serait la matrice nulle. Les matrices $A$ et $B$ ne sont donc pas semblables. \item \begin{enumerate} \item Comme la matrice $A$ est diagonale, pour tout entier $k\in \N$, $A^k$ est aussi diagonale. Pour tout polyn\^ome $P\in \R[X]$, $P(A)$, qui est une combinaison lin\'eaire de matrices diagonales, est diagonale. Comme $B$ n'est pas diagonale, il n'existe pas de polyn\^ome $P\in \R[X]$ tel que $P(A)=B$. \item Comme mentionn\'e ci-avant, pour tout polyn\^ome $P\in \R[X]$, $P(A)$ est une matrice diagonale.\\ Raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe un polyn\^ome $P\in \R[X]$ tel que $P(A)$ et $B$ sont semblables : il existe alors une matrice $R$ inversible telle que $B=RP(A)R^{-1}$. Ainsi, la matrice $B$ est diagonalisable, ce qui est une contradiction. On conclut qu'il n'existe pas de polyn\^ome $P\in \R[X]$ tel que $P(A)$ et $B$ sont semblables. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Question suppl\'ementaire \'eventuelle.} \\Recommencer l'exercice avec les matrices $A=\begin{pmatrix} 1&0&\dots&\dots&0\\ 1&2 &0&\dots &0\\ 1&1 &3&\dots& 0\\ \vdots&\vdots&\ddots &\ddots &\vdots\\ 1&1 &\dots&1& n\\ \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 0&\dots&\dots&\dots&0\\ 1&0 &\dots&\dots &0\\ 1&1 &0&\dots& 0\\ \vdots&\vdots&\ddots &\ddots &\vdots\\ 1&1 &\dots&1& 0\\ \end{pmatrix}.$ C'est le m\^eme principe que ce qui pr\'ec\`ede et, par suite, les m\^emes r\'eponses. \\ En effet, $A$ est diagonalisable puisque $A$ a $n$ valeurs propres deux \`a deux distinctes alors que $B$ ne l'est pas puisque $\mbox{Sp}(B)=\{0\}$ et $B\neq O_n$.\\ On note que, pour tout $P\in \R[X]$, $P(A)$ reste diagonalisable. En effet, s'il existe une matrice inversible $Q$ et une matrice diagonale $D=\mbox{diag}(\lambda_1,\dots, \lambda_n)$ telles que $A=QDQ^{-1}$, alors $P(A)=QP(D)Q^{-1}$, o\`u $P(D)=\mbox{diag}(P(\lambda_1),\dots, P(\lambda_n))$ est diagonale.\\ Ainsi, il n'existe aucun polyn\^ome $P\in \R[X]$ tel que $P(A)$ et $B$ soient identiques ou semblables. \end{comment} \newpage \begin{center} {\Large {\bf SUJET BL3}}\\ \vspace*{1cm} {\large {\bf Exercice principal BL3}} \end{center} \vspace*{2cm} On consid\`ere une suite de polyn\^omes $(P_k)_{k\in \N}$ d\'efinie par $$P_0(X)=1 \qquad P_1(X)=X\qquad \mbox{et} \qquad \forall\, k \geq 2, \quad P_k(X)=\dfrac{X(X-k)^{k-1}}{k!}.$$ \begin{enumerate} \item Question de cours : rappeler la d\'efinition d'une base d'un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. \item Soit $n\in \N^*$. Montrer que la famille $\mathcal{B}=(P_0,P_1,\dots, P_n)$ est une base de $\R_n[X]$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $n\in \N^*$, $$P_n'(X)=P_{n-1}(X-1).$$ \item Montrer que pour tout entier $k\in \N^*$ et tout entier $n\geq k$, $$P_n^{(k)}(X)=P_{n-k}(X-k).$$ On rappelle que $P_n^{(k)}$ d\'esigne la d\'eriv\'ee $k$-i\`eme du polyn\^ome $P_n$. \item Soit $Q\in \R_n[X]$. Montrer que $Q(X)=\sum_{k=0}^n Q^{(k)}(k)P_k(X)$. \end{enumerate} \item Soit $n\in \N^*$. Soit $\varphi$ l'application telle que, pour tout $Q\in \R_n[X]$, $$\varphi(Q)(X)= Q(X)-Q'(X+1).$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$ et \'ecrire sa matrice repr\'esentative dans la base $\mathcal{B}$. L'endomorphisme $\varphi$ est-il diagonalisable ? \item Montrer que l'endomorphisme $\varphi$ est bijectif et pour tout $k\in [\![0,n]\!]$, \'ecrire la d\'ecomposition de $\varphi^{-1}(P_k)$ dans la base $\mathcal{B}$. \end{enumerate} \item Soit $n\in \N^*$. On cherche \`a d\'eterminer tous les polyn\^omes $Q\in \R[X]$ v\'erifiant $$Q(X)-Q'(X+1)=\dfrac{X^n}{n!}\qquad (\star)$$ \begin{enumerate} \item Montrer que si $Q$ est un polyn\^ome solution du probl\`eme, son degr\'e vaut $n$. \item Montrer que le probl\`eme admet un unique polyn\^ome solution $Q$ dont on \'ecrira la d\'ecomposition dans la base $\mathcal{B}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{comment} \begin{enumerate} \item D\'efinition d'une base d'un $\R$-espace vectoriel.\\ Voir le programme officiel page 14. \item Chaque polyn\^ome $P_k$ est de degr\'e $k$. En tant que famille de polyn\^omes \`a degr\'e \'echelonn\'e, $(P_0,P_1,\dots, P_n)$ est une famille libre de $\R_n[X]$. Comme cette propri\'et\'e n'apparait pas dans le programme officiel, le candidat pourra faire un test de libert\'e. Comme cette famille contient (n+1) polyn\^omes, c'est une base de $\R_n[X]$. \item \begin{enumerate} \item On note que $P'_1(X)=1=P_0(X-1)$. Pour tout $n\geq 2$, $ \displaystyle P_n'(X)=\dfrac{\left((X-n)^{n-1}+(n-1)X(X-n)^{n-2}\right)}{n!}=\dfrac{(X-n)^{n-2}(nX-n)}{n!}=\frac{(X-1) (X-1-(n-1))^{n-2}}{(n-1)!}=P_{n-1}(X-1).$ \item On proc\`ede par r\'ecurrence sur $k$. Pour tout $k\in \N^*$, on pose $\wp(k)$: " pour tout entier $n\geq k$, $P_n^{(k)}(X)=P_{n-k}(X-k).$" La propri\'et\'e $\wp(1)$ est vraie d'apr\`es la question 3(a). Supposons la propri\'et\'e vraie \`a un rang $k\in \N^*$. Alors, pour tout $n\geq k+1$, $P_n^{(k)}(X)=P_{n-k}(X-k).$ En d\'erivant et en utilisant 2(a), on obtient $P_n^{(k+1)}(X)=P_{n-k}'(X-k)=P_{n-k-1}(X-k-1)$, ce qui prouve la propri\'et\'e au rang $k+1$ et ach\`eve la r\'ecurrence. \item Par la question 2, pour tout $Q\in \R_n[X]$, il existe $(a_0,\dots,a_n)\in \R^{n+1}$ uniques tels que $\displaystyle Q=\sum_{i=0}^n a_iP_i$. Soit $(i,k)\in \N^2$. On note que si $i>k$, $P_i^{(k)}(k)=P_{i-k}(0)=0$, si $i=k$, $P_k^{(k)}(k)=P_0(0)=1$ et si $i0$. Soit $f$ une densit\'e de $X$. \\Pour tout r\'eel $x$ tel que l'int\'egrale est d\'efinie, on pose $$G(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \P(X\leq xt) f(t)\dt.$$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer le domaine de d\'efinition de la fonction $G$. \item Montrer que $G$ est la fonction de r\'epartition d'une variable al\'eatoire \`a densit\'e dont on donnera une densit\'e. \end{enumerate} \begin{comment} \begin{enumerate} \item On rappelle que $X(\Omega)=\R^+$. Ainsi, $f(t)=0$ pour tout $t<0$.\\ Ainsi, $$G(x)=\int_{0}^{+\infty} \P(X\leq xt) f(t)\dt=\int_0^{+\infty} F_X(xt) f(t)\dt$$ en notant $F_X$ la fonction de r\'epartition de la variable $X$.\\ Pour tout r\'eel $x$, la fonction $t\mapsto F_{X}(xt)f(t)$ est continue et positive sur $\R^{+*}$. Comme $\displaystyle \lim_{t\to 0^+}F_{X}(xt)f(t)=0$, l'int\'egrale est faussement impropre en $0$.\\ De plus, pour tout $x\in \R$ et pour tout $t\in \R^+$, $$0\leq F_{X}(xt)f(t)\leq f(t)$$ Comme $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\dt$, on conclut que $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \P(X\leq xt) f(t)\dt$ converge.\\ Ainsi, le domaine de d\'efinition de $G$ est $\R$. \item $\bullet$ Si $x<0$, $$G(x)=\int_0^{+\infty} \P(X\leq xt)\lambda \e^{-\lambda t}\dt.$$ Or, pour $x<0$ et $t\geq 0$, $xt\leq 0$, donc $\P(X\leq xt)=0.$ Ainsi, $G(x)=0$.\\ $\bullet$ Si $x\geq 0$ et $t\geq 0$, $\P(X\leq xt)=1-\e^{-\lambda xt}.$ Ainsi, $$G(x)=\int_0^{+\infty} \lambda \e^{-\lambda t}(1-\e^{-\lambda xt}) dt=\int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t} dt-\int_0^{+\infty} \lambda \e^{-\lambda(x+1)t} \dt=1-\dfrac{1}{x+1}.$$ On conclut que $$G(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0& \, \mbox{si}\, \, x< 0\\ \dfrac{x}{x+1}& \, \mbox{si}\,\, x\geq 0\\ \end{array} \right. $$ $\bullet$ $G$ admet pour limite $0$ en $-\infty$ et $1$ en $+\infty$.\\ $\bullet$ On note que la fonction $G$ est continue sur $\R^{-*}$, sur $\R^{+*}$ et que $$\lim_{x\to 0^-}G(x)=G(0)=0=\lim_{x\to 0^+} G(x).$$ La fonction $G$ est donc continue sur $\R$.\\ $\bullet$ La fonction $G$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R^*$ avec $$\forall \, x<0, \quad G'(x)=0\qquad \mbox{et} \qquad \forall \, x>0, \qquad G'(x)=\dfrac{1}{(1+x)^2}.$$ $\bullet$ On remarque que $G$ est croissante sur $\R^{-*}$ et sur $\R^{+*}$. Comme $G$ est continue en $0$, $G$ est croissante sur $\R$.\\ On conclut que $G$ est la fonction de r\'epartition d'une variable al\'eatoire \`a densit\'e $Y$ dont une densit\'e est donn\'ee par $$g(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0& \, \mbox{si}\, \, x\leq 0\\ \dfrac{1}{(x+1)^2}& \, \mbox{si}\,\, x> 0\\ \end{array} \right. $$ \end{enumerate} \end{comment} \newpage \begin{center} {\Large {\bf Sujet BL4}}\\ \vspace*{1cm} {\large {\bf Exercice principal BL4}} \end{center} \vspace*{2cm} Soient $n\geq 2$ un entier naturel et $\M_n(\R\,)$ le $\R\,$-espace vectoriel des matrices carr\'ees d'ordre $n$, \`a coefficients dans $\R\,$.\\ On note $I_n$ la matrice identit\'e d'ordre $n$ et $O_n$ la matrice nulle d'ordre $n$. \\ On dit qu'une matrice $A\in \M_n(\R\,)$ est nilpotente s'il existe un entier $p\in \N^*$ tel que $A^p=O_n$. \begin{enumerate} \item Question de cours : rappeler la d\'efinition d'une matrice inversible. \item Une matrice nilpotente peut-elle \^etre inversible ? Justifier. \item On suppose dans cette question seulement $n=2$ et on pose $$d: \left\{ \begin{array}{ll} \M_2(\R) \rightarrow \R\\ \begin{pmatrix} a&b\\ c &d\\ \end{pmatrix} \mapsto ad-bc. \end{array} \right. $$ \begin{enumerate} \item L'application $d$ est-elle lin\'eaire ? Est-elle injective ? Est-elle surjective ? \item Montrer que pour tout couple $(A,B)\in (\M_2(\R))^2$, $d(AB)=d(A)d(B)$. \item Soit $A\in \M_2(\R)$. Trouver deux constantes $(\alpha, \beta)\in \R^2$ telles que $A^2=\alpha A+\beta I_2$. \item En d\'eduire que pour tout $A\in \M_2(\R)$, $A$ est inversible si et seulement si $d(A)\neq 0$. \end{enumerate} \item On revient au cas d'un entier $n\geq 2$ quelconque et l'on consid\`ere $\varphi: \M_n(\R\,)\to \R\,$ une application non constante telle que $$\forall \, (A,B)\in \left(\M_n(\R\,)\right)^2, \qquad \varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B).$$ \underline{On admet la propri\'et\'e suivante.} Si $M$ et $N$ sont deux matrices de $\M_n(\R)$ ayant le m\^eme rang $r$, il existe deux matrices inversibles de $\M_n(\R)$ $P$ et $Q$ telles que $$M=PNQ.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi(I_n)=1$ et que $\varphi(O_n)=0$. \item Soit $A\in \M_n(\R\,)$ une matrice nilpotente. Calculer $\varphi(A).$ \item Soit $A\in \M_n(\R\,)$ une matrice de rang $r\in [\![1,n-1]\!]$. Montrer $$\exists (\alpha,N_r)\in \R \times \M_n(\R) \mbox{ tels que } N_r \mbox{ soit nilpotente de rang } r \mbox{ et } \varphi(A)=\alpha \varphi(N_r).$$ \item En d\'eduire que pour tout $\, A \in \M_n(\R\,)$ $$A\, \, \mbox{est inversible si et seulement si} \, \, \varphi(A)\neq 0.$$ \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{comment} \begin{enumerate} \item Pour la d\'efinition d'une matrice inversible, voir programme officiel page 9. \item Supposons qu'il existe $p\in \N^*$ tel que $A^p=O_n$. On raisonne par l'absurde en supposant que la matrice $A$ est inversible. Alors en multipliant l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente $A^p=O_n$ par $A^{-1}$ $p$ fois, on obtient $I_n=O_n$, ce qui est absurde. On conclut qu'une matrice nilpotente n'est pas inversible. \item \begin{enumerate} \item $\bullet$ L'application $d$ n'est pas lin\'eaire. En effet, $=d(2I_2)=4\neq 2=2d(I_2)$.\\ $\bullet$ Comme $d$ n'est pas lin\'eaire, on ne peut pas consid\'erer son noyau. Pour prouver que $d$ n'est pas injective, il suffit de remarquer que $d\left(\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix}\right)=d\left(\begin{pmatrix} 1&0\\ 0 &1\\ \end{pmatrix}\right)$ avec $\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 1&0\\ 0 &1\\ \end{pmatrix}$.\\ $\bullet$ L'application $d$ est surjective. En effet, pour tout $\alpha\in \R$, il existe une matrice $A=\begin{pmatrix} \alpha&0\\ 0 &1\\ \end{pmatrix}\in \M_2(\R)$ telle que $\alpha=d(A)$. \item Posons $A=\begin{pmatrix} a_1&a_2\\ a_3 &a_4\\ \end{pmatrix}\in \M_2(\R)$ et $B=\begin{pmatrix} b_1&b_2\\ b_3 &b_4\\ \end{pmatrix}\in \M_2(\R)$. Alors, $AB=\begin{pmatrix} a_1b_1+a_2b_3&a_1b_2+a_2b_4\\ a_3b_1+a_4b_3&a_3b_2+a_4b_4\\ \end{pmatrix}.$ Apr\`es calculs, $$d(A)d(B)=(a_1a_4-a_2a_3)(b_1b_4-b_2b_3)=a_1a_4b_1b_4+a_2a_3b_2b_3-a_2a_3b_1b_4-b_2b_3a_1a_4=d(AB).$$ \item Posons $A=\begin{pmatrix} a&b\\ c &d\\ \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_2(\R)$. Alors, $A^2=\begin{pmatrix} a^2+bc&ab+bd\\ ac+cd&bc+d^2\\ \end{pmatrix}$. \\En \'ecrivant $A^2=\alpha A+\beta I_2$, on trouve un syst\``eme de quatre \'equations dont les inconnues sont $\alpha$ et $\beta$: $$\left\{ \begin{array}{ll} a^2+bc=\alpha a+\beta\\ (a+d)\,b=\alpha b\\ (a+d)\,c=\alpha c\\ bc+d^2=\alpha d+\beta\\ \end{array} \right. $$ En pensant \`a traiter \`a part le cas $b=c=0$, on trouve que la solution de ce syst\`eme est $\alpha =a+d=\mbox{tr}(A)$ et $\beta=bc-ad=-d(A).$\\ \emph{Remarque:} on ne demandait pas ici de prouver l'unicit\'e de la solution, mais seulement de trouver des valeurs de $\alpha$ et $\beta$ qui conviennent. \item $\bullet$ Si $d(A)\neq 0$, alors $A^2-\alpha A=\beta I_2$ avec $\beta$ non nul. Donc, $A\left(\dfrac{1}{\beta} (A-\alpha I_2)\right)=I_2$, ce qui prouve que $A$ est inversible avec $A^{-1}=\dfrac{1}{\beta} (A-\alpha I_2).$\\ $\bullet$ R\'eciproquement, supposons $A$ inversible. Raisonnons par l'absurde et supposons que $d(A)=0$. Alors, on d\'eduit de la question pr\'ec\'edente que $A^2=\alpha A$. En multipliant par $A^{-1}$, on trouve $A=\alpha I_2$. Comme $d(A)=0$, on doit avoir $\alpha=0$. Mais alors $A=O_2$ et n'est pas inversible: contradiction. Ainsi, $d(A)\neq 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\bullet$ L'application $\varphi$ n'est pas une application constante. Ce n'est donc pas l'application identiquement nulle.\\ Il existe donc une matrice $A_0\in \mathcal{M}_n(\R\,)$ tel que $\varphi(A_0)\neq 0.$\\ Par propri\'et\'e de l'application $\varphi$, $$\varphi(A_0)=\varphi(A_0I_n)=\varphi(A_0)\varphi(I_n).$$ Comme $\varphi(A_0)\neq 0$, on conclut que $\varphi(I_n)=1$.\\ $\bullet$ Si $\varphi(O_n)\neq 0$, alors pour toute matrice $A\in \mathcal{M}_n(\R)$, $$\varphi(O_n)=\varphi(A O_n)=\varphi(A) \varphi(O_n) \qquad \mbox{d'o\`u} \qquad 1=\varphi(A).$$ L'application $\varphi$ serait l'application constante \'egale \`a $1$. Ceci est exclu par hypoth\`ese. \\ Donc $\varphi(O_n)=0$. \item Soit $p\in \N^*$ tel que $A^p=O_n$. Alors, par propri\'et\'e de l'application $\varphi$, $$0=\varphi(O_n)=\varphi(A^p)=\varphi(A)^p.$$ D'o\`u $\varphi(A)=0.$ \item Soit $\mathcal{B}=(e_1,\dots, e_n)$ la base canonique de $\R^n$. Soit $u$ l'endomorphisme de $\R^n$ d\'efini par $$\forall\, k \in [\![1,n-r]\!], \qquad u(e_k)=0 \qquad \mbox{et} \qquad \forall\, k \in [\![n-r+1,n]\!], \qquad u(e_k)=e_{k-1}.$$ Soit $N_r$ la matrice repr\'esentative de $u$ dans la base $\mathcal{B}$. La matrice $N_r$ est de rang $r$ car ses $n-r$ premi\`eres colonnes sont nulles et les $r$ suivantes forment une famille libre.\\ De plus, on peut remarquer que $N_r=O_n$, ce qui prouve que $N_r$ est nilpotente.\\ Comme $A$ et $N_r$ ont le m\^eme rang, la propri\'et\'e donn\'ee dans l'\'enonc\'e dit qu'il existe deux matrices $P$ et $Q$ inversibles telles que $$A=PN_rQ\qquad \mbox{d'o\`u} \qquad \varphi(A)=\varphi(P)\varphi(N_r)\varphi(Q).$$ On pose alors $\alpha=\varphi(P)\varphi(Q)\in \R.$ \item $\bullet$ Si $A$ est une matrice inversible, $$1=\varphi(I_n)=\varphi(AA^{-1})=\varphi(A)\varphi(A^{-1}).$$ Ainsi, $\varphi(A)\neq 0$ et l'on note que $\varphi(A^{-1})=\left(\varphi(A)\right)^{-1}.$\\ $\bullet$ Supposons \`a pr\'esent que $A$ ne soit pas inversible. On a donc $r=\mbox{rg}(A)\leq n-1$. Si $r=0$, alors $A=O_n$ et par suite, $\varphi(A)=\varphi(O_n)=0$ comme vu en 3(a). Si $r\neq 0$, alors $r\in [\![1,n-1]\!]$. Par la question pr\'ec\'edente, il existe un r\'eel $\alpha$ et une matrice $N_r\in\mathcal{M}_n(\R)$ nilpotente et de rang $r$ tels que $\varphi(A)=\alpha \varphi(N_r)$. Comme $N_r$ est nilpotente, la question 3(b) montre que $\varphi(N_r)=0$, par suite, $\varphi(A)=0$. Par contrapos\'ee, si $\varphi(A)\neq 0$, alors $A$ est inversible. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{comment} \newpage \begin{center} {\large {\bf Exercice sans préparation BL4}} \end{center} \vspace*{2cm} Soit $x$ un r\'eel, on note $\lfloor x\rfloor$ l'unique entier $n\in \Z$ tel que $n\leq x < n+1.$\\ L'entier $\lfloor x\rfloor$ est appel\'e la partie enti\`ere de $x$.\\ Soit $X$ une variable al\'{e}atoire r\'eelle d\'{e}finie sur l'espace probabilis\'{e} $(\Omega,{\cal A},\P)$ suivant la loi uniforme sur l'intervalle $]0,1[$.\\ On d\'{e}finit deux variables $D_1$ et $D_2$ par : $$ D_1=\lfloor 10X\rfloor \quad \quad \hbox{et} \quad \quad D_2=\lfloor 100X-10D_1\rfloor .$$ On admet que $D_1$ et $D_2$ ainsi d\'efinies sont des variables al\'eatoires sur $(\Omega,{\cal A},\P)$. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les lois des variables al\'{e}atoires $D_1$ et $D_2$. \item Les variables $D_1$ et $D_2$ sont-elles ind\'{e}pendantes? \end{enumerate} \medskip \begin{comment} On pourra remarquer que $D_1$ repr\'esente la premi\`ere d\'ecimale de $X$ et $D_2$ sa deuxi\`eme d\'ecimale. \begin{enumerate} \item $\bullet$ $X(\Omega)=]0,1[$, donc $(10X)(\Omega)=]0,10[$, d'o\`u $D_1(\Omega)=[\![0, 9]\!]$.\\ $\bullet$ Comme $D_1\leq 10X